热点文章以数学角度讲音律计算
我作一个注记：
由于我主要是突出数学方面的计算，
所以有的音乐上的道理可能还暂时给不出准确的解答。让我们抛砖引玉好了。
先来计算五度相生律
如果我们从提琴或吉他上扯下一根弦来（如果能找到一根单个儿的弦就不要扯，不然会被琴的主人...）!
比如说是120公分，把弦拉直，两头固定在桌子上，然后弹拨一下，听听声音。
我们先认为它是“do”（先不论它是哪个调的）。
然后，我们取这根弦的中点，
也就是60公分处，掐住它（目的是只让这60公分的弦震动），
再弹拨一下听一听，和刚才正好是纯八度关系，也就是高音的“do”。
我们现在不掐在60公分处，我们掐在弦的3分之2处，也就是80公分，
弹拨80公分这一边，听一听，和第一次的操作正好是纯五度的关系，也就是“so”。
我们换别的长度的弦儿
也是按整弦儿弹拨、2分之1处弹拨、3分之2处弹拨，发出的声音都是“do”“高音do”“so”。
（这个do和1米2的那根弦的do是的音高是不一样的，除非它也是同样质地同样粗细同样长短。）
或者我们用严格的角度说，第1次和第2次弹拨的音程是纯八度，第1、3次弹拨的音程是纯五度。
如图：
在弹拨琴弦的时候，除了整个弦在振动之外，它的每一个部分，比如2分之1，3分之1也在振动。
所以我们想，为什么纯八度是“极完全协和音程”，而纯五度是“完全协和音程”，
因为它们的比是2：1和3：2。从数学上的直觉来想，也是很“舒服”的比例。
不信，你找一个无限不循环小数的比例！
比如说π: e，也就是长度比为3.1415926536…：2.7182818284…
的两根同样粗细同样质地的弦，弹拨出来的音程要是协和才怪呢。
大家记住哦，无论哪一个大调，只要用弦弹拨，do、so、高音do之间的弦长一定是6：4：3。
对于管乐器，则是它里面的空气柱长度是这个比例
大家都看明白了吧？好，那么我们往下讲了。
无人不知，无人不晓的古希腊大数学家毕达哥拉斯~~，
建立了著名的毕达哥拉斯学派。他把学派开设的全部课程分为了四类：
1、数的绝对理论——代数；
2、数的应用————音乐；
3、静止的量————几何；
4、运动的量————天文。
我个人评价一下啊，他开这些课很有道理。
为什么数的应用是音乐呢？因为老毕（不是毕福剑，是毕达哥拉斯）也是一位音乐家。
（音乐的网站怎么能不介绍音乐家呢）他在定律方面很有研究。也就是说，
为什么do和re之间差那么多？这很早就有研究了。他就是其中一个很有成就的代表。
我已经说了，为什么纯八度是极完全协和音程？因为2：1是一个非常和协的数。
或者我们应当这样说：正是因为弦以1：2这个比例发出了和协的双音，
所以人们才把它们叫作“do”和“高音do”（先不论是哪个调）。
无论是五度相生律、纯律还是十二平均律，他们的其它的音程可以有细微的差别，
但是都采取了这样一个事实：纯八度，就是弦长比2：1，或者说，把弦长2：1定为纯八度，
并且以这为一个基础来定出其它各音的音高。
我们现代的乐器用的标准音，或者是61键的电子琴的A3这个音是440赫兹。
所以61键的琴的所有音名为A的音的频率是110，220，440，880，1760赫兹。
再回到老毕。他认为3、4、6这三个数实在是太神奇了。除了音律上是纯五度和纯八度的关系之外，
我再举一个例子。一个360度（一圈儿），正好可以被6个正3角形或者4个正4边形，或者3个正6边形真满。
但是其它边形不可以做到。比如说，正五边形是108度的内角，不能整除整除360。
如图
这不是一个很神奇的事情么？所以他认为这是宇宙的内在规律的一种表现。
“万物皆数”，正是这个学派的信念。
不难吧？我一刻钟就通了五度相生律。我后面还有纯律和十二平均律没有讲呢。
补充一点：
老毕的6：4：3还有一个事实：正立方体（骰子、魔方那种形状的）的棱12条，顶点是8个，面是6个，也是6：4：3。
好我们继续。
我们知道，一根弦在振动发声的时候，它的各部分（2分之1，3分之1，4分之1等等）也都在振动。
全段振动的声音叫基音，各个段振动发出的音叫泛音。泛音比基音弱得多不易察觉。
我们可以算一下，如果基音发出的是“do”，那么2分之1段发出的音就是高八度的“do”，
3分之1段发出的间就是再往上纯五度，即“高音so”（因为1/3＝1/2×2/3），
4分之1段发出的是比基音高2个8度的“do”，
（因为1/4＝1/2×1/2）5分之1段发出的是近似的“倍高音mi”为什么是近似，以后再讲。
6分之1段发出的音正好是“倍高音so”这个不是近似。好的不往下算了。
所以我们听钢琴的音，高音对应的弦长本身就短，
所以高音的泛音比低音的泛音弱得多，所以钢琴的很高的音会显得单薄，低音则比较浑厚。
至于分子不是1时的情况，比如2/5段发出的音是什么情况，
不好意思，我物理差，我也不知道为什么前人不研究这种情况……
我们还知道，波长×频率＝波速（前天刚问物理系的人的）似乎弦长和波长成正比。
（这可以用物理实验检验）所以，高音do的弦长的do的1/2，则高音do的频率是do的2倍。
So是do弦长（波长）的2/3，所以so的频率是do的3/2，也就是1.5倍。而频率和音高是直接相关的。
标准音的频率就是440赫兹。
这里一定要强调是同样质地同样粗细的绳儿，因为这对音高是有根本影响的。
一根1米长1平方毫米粗的尼龙弦发出的音是同样材料同样做工的1米长2平方毫米粗的绳的音的往高纯八度。
甚至同样的弦，两头用不同的力量拉直，发出的音也差很多很多！
比如用200牛顿的力拉一根弦、再弹拨，发出的音是100牛顿的力拉弦发出的音的高八度
（不过还是不要试了，好不容易被琴主人一通乱剋才抻下来的弦就这样被拉断了，还得重新挨骂再扽一根来……）
我们想一想吉它。它的材质应该是一样的。
六根统是不一样粗的。另外，在调琴时转动那些螺丝，
实际上就是加几个牛顿，即改变拉力来达到改变音高的目的。
另外它的那个码儿，其实是改变长度用的。用手一把弦按在码上，它的上端就不振动了
（或者是振动极弱我们听不到了）。
所以吉它的发明也是动了脑筋的。也是有数学计算在里面的。
如果粗细都一样，拉力都一样，就得用不同长度的弦，有多少个音就得有多少个长度不同的弦。
这是不现实的，这成钢琴了。
由于不同质地、粗细、拉力、长短的弦发出的音会不一样，
所以我们在随便抻下一根弦的时候无法知道它是哪个调的，甚至把弦泡在水里或食用油里，
由于波速变了，也会发出不同的调。所以我们现在假定质地粗细和拉力介质都是固定的，只有弦长短变化。
这样尽管我们不知道是什么调的，但是它们的音程是可以确定的。
哪怕它的do在中央C和升C之间，也对音程和我们现在的讨论没有影响。
五度相生律就是用弦的1/2和1/3段振动时发出的音高比往上定出纯五度，产生次一律，
然后再往上纯五度产生次二律，以此反复。好，我们开始上计算过程和数据了。多么的通俗易懂啊！
假定弦长为1个单位时，频率为1单位。那么...
见图：http://www.cndzq.com/bbs/UploadFile/TopicFile/20061923491643.gif
现在我们把上面的计算整理如下：
do re mi so la
弦长 1 8/9 64/81 2/3 16/27
频率 1 9/8 81/64 3/2 27/16
频率 1 1.125 1.265625 1.5 1.6875
也就是说do re mi so la的弦长之比是81：72：64：54：48
频率之比是1：1.125：1.265625:：1.5：1.6875
注意到一个全音的频率比，比如do和re，re和mi，so和la的比，为8：9。
如果我们此时给一个标准音la是440Hz。
然后用通过不断变换弦的长度的办法，使弦的音高和标准音听上去一样，
然后把它当作la，再除以27/16得到的频率，就是中央C的频率，为260.74074 Hz。
中音区的do re mi so la的频率分别为260.74074赫兹，293.33333赫兹，330赫兹，391.11111赫兹和440赫兹。
这，就是从五度相生律的原理上的推导。至于先有标准音还是先有中央C，则需要考证音乐史。
我宣布：
本贴子可以尽情地转帖。因为这些知识都不是我首创。我只是把它们整理加工并且精确计算而已。
从事数学工作的人们，不兴搞知识垄断，只会正当地劳动致富（其实搞数学的一般也不富）。
所有抨击知识分子中的败类的言论，尽管那些现象是存在的，但都与主流的科学工作者没有丝毫关联。
不过，我希望大家转帖的时候注明摘自www.cndzq.com网站，由LuXin所发！
如果能做个链接是最好不过的（虽然精华帖子必须登录才能看吧……）。
一是因为，好歹我也吭哧吭哧写了、算了几个小时呢，按理说一个从事科学工作的人，应当把他的知识推广，
直至与整个世界的人们分享，科学是没有国界的，何况网界？这是我追求的一个境界。
不过大家也是要给点肯定是不是？另一方面呢，一旦我计算有误，人们就可以不会因为查不到原出处而困惑。
如果有了出处，谁提出我算得不对，改起来、勘误起来也是方便的。
这是数学家应当具有的对科学严谨的态度和对于接受信息的人们的负责任的精神。
原始帖子地址：http://www.cndzq.com/bbs/Show.asp?id=13377&BoardID=14&TB=1
由 155200530 与 2006-7-13 19:10:08 整理并发布...
