[原创]音阶的数学解释：

chnwwhh

音阶是按比例12等分的

所以中音1和高音do之间的音阶的频率比例X为：

n*X12=2n

则X=21/12=1.0594630943592952645618252949461

但为什么人们选择了12等分音阶我就不太清楚了。但很可能是这样的：

12这个数可以包容“2、3、4、6、12”5个等分音阶的情况。

而如果选8等分音阶的话只能包容“2、4、8”3个等分音阶

而如果选10等分音阶的话只能包容“2、5、10”3个等分音阶

而如果选16等分音阶的话只能包容“2、4、8、16”4个等分音阶

可见12音阶的包容性是最好的！

依此类推，而再分的更细话只能选24音阶了，而12音阶算是“24音阶”的一个半子集。而大过12音阶的话再大的话可能我们的耳朵已经听不出音阶的差别了。所以人们最终选择了12音阶！

这可能也是人们为什么在许多领域采用12进制的原因吧。

LuXin

则X=21/12=1.0594630943592952645618252949461

?????？？？？？？？？？

12个音阶的道理我认为另有原因。

chnwwhh

应当是

N*X¹²=2N

X=2^1/12

发贴时我用纯文本方式粘在上面的，没注意搞上标已发生变化了

版主看能不能给改一下，谢谢！

「该帖子被 chnwwhh 在 2007-2-24 16:57:25 编辑过」

LuXin

楼主的解法是一个面上的解释。更深层的需要再深入计算。不要生气

12个，是因为它来自于五度相生律。楼主已知1到高音1是2：1,那么，1到5则是3：2。也是一个很整的比例。它们一起弹会很“协和”。所以这是一个纯5度关系。从1到5，和从5到高音2,和从高音2到高音6……都是3：2

算一圈下来，算完第12个，再算到第13个的时候，再除以几个2,恰巧和那个中音1一样，只有很小的误差可以忽略。算到16、10什么的都不能产生这样的效果。所以在后来的十二平均律的时候，就把它给弄成12个了。这是因为物理上的性质所致。

「该帖子被 LuXin 在 2007-2-24 17:11:05 编辑过」

chnwwhh

我认为你的解释和我讲的殊途同归。理由如下：

首先，我想人类没有音乐之前，应当首先就有语言了。当然从某种意义上讲，语言和音乐是一回事。

那么，不同人音高是不同，而不同音高的人说不同音高的语言，而人们都能理解。这就象一首曲子可以从任何音高上弹起。人们肯定认为听到的一个曲调，但整体有高有低。

曲调子在人脑子里本质反映是音与音之间的差！而高一个八度肯定是音频上增加了一倍。由此可以得出如下的结论：

曲调的本质是，组成曲调的各个单音之间的频率倍数之差！

我想这一点，肯定是真理！

好了让我们接着推理：

一个八度之间，不同频率的音，仍有无数个(当然人耳朵能辨别的数量估计是有限的)。而且也确实有这种情况：如蒙古长调由1个音滑向别一个音，期间就会有不在标准音价的上连续音组成。而从人类音乐的发展来来推想，人类最早的乐器应当是自己的噪子。人的噪音就是具有连续音高的(即并非只有固定音阶)，所以说音阶不是自然就有的！那么音阶是怎样出现的呢？

好了我们还是从音乐的数学本质来看问题：

(如果不相信音乐有数学本质的话，电子琴就不可能出现。聪明的你不会不承认已经出现的实事吧！电钢琴的另一名字叫数码钢琴，也证明了这一点)

一首曲子，或着说调子可以描述为一个音频/时间曲线。这个曲线如果画在纸上可能是连续的、平滑的，也可能是不连续的、带有毛刺的。而音阶的作用就是用不连续的点或用各个点的连线(直线或曲线)，来描述原有的曲子的整体的原始的曲线！而这些不连续的点，就是音阶！

有了这些音阶，人们就可以再现一条近似的曲线(曲子)。

而人们做的乐器一般来讲是有固定音阶的。人们记录曲子也不用好曲线来画，而解决的办法就是用固定的音阶！

那好如何划定音阶呢？

这里有两个前提条件：一个八度肯定频率肯定相差一倍；音阶的划定最好能满足可以从不同音高起始，都可以描述一个曲调的能力！

(这就好比，一曲C调的曲子，你用F曲一样能弹出来。也正如男人和女人噪音不一样高但可以唱同一只歌。这样才符合自然的情况！这是不是也算一种“相生”呢？)

分析上述两个前提，第一个不用说，大家肯定明白，必须这样；而如果同意第二个前提有道理的话，那么人们划定音阶就必须是等分音阶或等分音节的子集！

那么这个等分音阶的全集应当是几等分呢？我在前贴已经分析过了12等分是最有效的！而实际情况就是这样的中国的五音和简普的7音就是12等分音阶的子集。至于为什么选择了5音或7音，我想从数学上也应可以找到答案。如果大家有兴趣的话，可以另加讨论。

好了，让我们再回到LuXin大侠的“五度相生律”！

chnwwhh

我哭呀！！！！！

写了很长的贴子，好不容易写完了确发不上去，改贴一半，下一半谁知还长！！

谁知这就让下一半丢掉了！！！！！

哭呀！！！！

chnwwhh

我不气馁!接着重写！！！！！！！

好了，让我们再回到LuXin大侠的“五度相生律”！

先用的理论算一下各音阶的频率、弦长与唱名之间的关系

频率倍数 弦长倍数 唱名
1 1 1
1.059463094 0.943874313
1.122462048 0.890898718 2
1.189207115 0.840896415
1.25992105 0.793700526 3
1.334839854 0.749153538 4
1.414213562 0.707106781
1.498307077 0.667419927 5
1.587401052 0.629960525
1.681792831 0.594603558 6
1.781797436 0.561231024 7
1.887748625 0.529731547
2 0.5 高音1

可以看到5音的弦长倍数是0.667419927近似等于2/3，但这只是个巧合！

刚才写到这时，我又看看LuXin大侠的贴子，看到了用2/3推出其他音的描述。我又仔细想了想，能推出其他音阶的功劳不是这个2/3，而是(2^-1/12)⁷的功劳！如果说整齐的话，虽然式子复杂，但实质是简单的！

这么说不是说LuXin的五度相生律的实际意义！因为人类不可能很早就知道2的X次方(甚至开X次方)，这种复杂而又精确的数学知识！但这也不能说人类在早期对2的X次方没有感知：无生有、有而太极、太极生两仪～四象、八卦就是对2的X次方的朴素描述！而所谓“相生”就是指的这一点！

最最重要的是2/3弦长这个巧合让早期的人们可以轻松的找到(2^-1/12)⁷！而(2^-1/12)⁷而和2^-1组合(也可以说2/3和1/2组合)又可以得到其他的10个音阶！(是不是其他10个音都能通过2/3和1/2组合而成，我还没仔细算过，估计相差不远)！

综上所述，中国的五5音阶、简普的7音阶其本质上是12等分音阶的子集！而“五度相生律”(其实质是“弦长2/3”)可以解释人们是怎样在数学不发达的情况下找到了各个近似准确的音阶。而“弦长2/3”的推演方法，是有误差的：也就是说从两头向中间推算应当会出现不相符的误差的自相矛盾的情况。

因为时间的关系，我没来的及推算《2/3和1/2组合》到底可以组合出一个八度内的几个音？所以上句中用了“应当会”这一词。我想可能只能推出中国传统的五音。估计这样应当才不至于出现自相矛盾的情况。这样的话，应当说“五度相生律”(其实质是“弦长2/3”)是有局限的！因为显然“五音”对于音乐的描述显然少了点！

写到这里，我的心里不尽有点感触和惭愧：

小学音乐课里讲过音阶，但那时一点也听不懂，印象里只有一个台阶形的样子；

后来在上大学里学了物理以及数学方面的知识，并有机会实地的摸过吉他，才明白高音do和中音do的频率和弦长相差一倍，而12音阶的关系也就一下明白了，也完全相信是正确的；但当时当时就有点纳闷为什么是12音阶呢？

今天有幸看到LuXin大侠的贴子，勾起的我的兴趣，就回了一个关于12平均音阶的贴子，实际上当时我没有仔细看贴子的全部内容。当时只是想自己的想法一定是对的。所以又急急的发了一个新贴(认为自己高明呀)。而且因为再次粘贴的缘故，上标全消失了。惭愧之至！

后来所幸LuXin回了贴，发表了她的意见。也就有了我的现在这次回贴。为了有说服力，这次写回贴过程时，我又几次看了LuXin大侠的贴子(但还是没仔细全部看完，惭愧！)。再次看贴LuXin原贴，颇有收获：12平均音阶可以完美的构造音阶，但人类一开始不能直接计算出12音阶！而“五度相生律”(其实质是“弦长2/3”)，巧妙的解决的这个问题！这也正是音乐的巧合之处！奇妙之处！

再次感谢LuXin！

因为急着想将这个回贴发了而得到大家的回应，以及自己的惰性，LuXin的原贴还没有真正看完。而且上述《2/3和1/2组合》到底可以组合出一个八度内的几个音？也没来的及推演。我想，得到大家的回贴、响应，我是会完成推演的！

我从小喜欢数学、数学也很好；从小喜欢音乐，但一直是个门外汉(至今不识谱、不会弹乐器，口琴会一点点)。至今已经有了上学的孩子了。因为孩子的缘故，想买台电子琴。所以有兴找到了这个网站，所以看到了大家的帖子。想想真是有幸！

缺根手指

相当的深奥啊!~!~!~!~

chnwwhh

经过近5个小时的推演，我十分惊讶于“五度相生”法确定音律的最终误差！最大误只有6.8‰！！！

虽然我各预想的“从两端推算，中间值可能会有矛盾”相符，但这误差值太小了！！！！

以标准音的频率就是440赫兹计算，误差只有440*6.8‰=3赫兹！！！

天呀！！！！！！！！！！！！这里面是怎样的魔法呢？神啊！伟大先知们！饶恕我的无知吧！！！

有哪位高人，给指点指点吧！！

是不是在LuXin的原贴里就已经讲清楚了呢？

今天是不看原贴了，改天吧。

chnwwhh

我推算各音阶的弦长比值及差值如下：

推算过程见附件的EXCEL表格。

OmD387XD.rar (5.92 KB, 下载次数: 46)

2007-2-25 04:37 上传

点击文件名下载附件

chnwwhh

再多说几句：

我已经确实的计算过一整圈，也确实惊讶于如此小的误差。但是有误差存在就证明这种方法只是对理论上正确值(不太清楚怎样表达)的模拟，而能说是理论上完全正确！

或者可以这样理解这个问题：对音乐本身描述的需要，决定了12音阶的出现。而理论上这12个音阶应当是等分的。(不然，为什么要算误差呢？) 而“五度相生律”的方法，让人们找到了一个简便、神奇、近似的划分12等分的方法。

我还是想说LuXin所说的“12个，是因为它来自于五度相生律”，是本未倒置的！如果讲“相生”无论几分都可以相生。但问题的实质是“改变弦长为原来的2/3,音高将比原来升高极为近似5/12”。至于说为什么这种极为近似的情况会出现，我还不明白～可能有其道理、也可能是个巧合。

而“2/3的比值”其最大意义在于音乐制作方面。而我想说，虽然乐器很大程度上影响了人类对音乐的理解，但乐器本身并不是音乐。人们一至在按自己的理解，改造乐器。虽然只有6.8‰这样小的误，但我仍不相信在今天制作电子琴等数码乐器时，设计师会仍然按“五度相生律”的方法推出各音阶的频率！

今天的人类已经可以实现数出一束激光具体有几个波长，从而应用在各项测量领域。而数码乐器的制作水平肯定也超越了6.8‰这个误差。6.8‰误差对于人耳朵可能听不出来差别，但听不出来不等于没有差别！！！

“五度相生律”的本质在于12平分律。是12平分律使得所谓的“和谐”的出现。而2/3弦长对应音高5/12,这只是一个说不清的巧合吧(暂且说是巧合吧)？！难道没有这个巧合早期的人类就一定划分不能划分出近似的12平分律吗？

恕我再多说一句：聪明的你，可能心里在想，不管人类早期是不是可以通过其他方式找出12平分律，人类就是通过“2/3弦长对应音高5/12”而找到12音阶的。就象历史不能假设一样。

但这里有一个漏洞：弦乐可能不是人类早期的乐器。而我国曾经出土的编钟被证明已具备12音阶，这编钟恐怕这能用2/3的方法来确定频率吧？难道说是依靠一种所谓的标准的弦乐器作为调音器的吗？

我想说在没有“标准乐器”出现之前，人类就拥有了天然的乐器：我们的噪子、还有我们的头脑。我想人类发出各种声音，恐怕也没有考虑什么2/3的方法吧？！

我想出于对和弦等(或和声)的追求，人类必须要区分不同音阶之间的关系，必须会感触怎样划分更加“合协”，我想这一切各弦乐没有必然的联系！

这就是我想说的：人类不一定通过2/3的方法找到12音阶！人类完全有能力通过自己的思考、听觉、歌喉或者其他方式来完成这一任务。

LuXin

五度相生律是早期的律。而且不是我发明的。人们不一定要算清楚。只要拿一些弦来折叠和靠耳朵听就知道了。

十二平均律是近三四百年才有的。现代的乐器制作当然不需要重新用五度来算。因为人们早就从上n代继承下数据了。

一千多年以前的人就能预报月食了。人类的数学能力不容低估。我那个帖子刚写了五分之一，所以先说大家不要动。

如果五度算来算去是13个的话，那么现在就会是13平均律。

「该帖子被 LuXin 在 2007-2-25 9:30:52 编辑过」

LuXin

曲高必然和寡
看看我音律的精华为什么才有几页，而指法的则有三十多页
估计很多人只好起起哄了

五度相生律，根据书上内容，的确是可以用2/3和1/2拼出来的。如果只算一个循环，那么6.8/1000在那时根本听不出来。所以那时的音乐完全可以的。另外，2的n次方可以不会，但是前人对折还是会的。而开十二次方则很难。要推音律，还跟基音泛音有关。

抱着这么强的求知欲，如果楼主再看看书，会更有的放矢

LuXin

一根弦在发声时，它的二分之一、三分之一、四分之一、五分之一……也在振动。其中，二分之一就是高音1。三分之一就是高音5。所谓五度相生律就是用这二分之一和三分之一定的，当然也就是3：2,也就是用它的固有物理属性推出来的。所以如果是e：pai，那肯定听着不舒服。这已经在我的帖子里讲过。

它的五分之一是倍高音的3。在十二平均律前，还有一种纯律，就是用1/2、1/3、1/5来定的。

chnwwhh

谢谢 LuXin的回贴！

其实一个人大半夜的推算，写贴是件很傻气的事情。特别是这和他的生活几乎不相关。而有你的回贴一切变的有生气了。

但你上面所说的有不十分认同～可能是我看不进去、没有弄懂你的意思，也可能你就是错的。

是有些东西我没弄明白，比如这次计算出的误差值会这样小、这样环环相扣的巧妙，我就不敢确实是偶然、还是必然。当然，可能早就有数学家，推证了其必然性。但在昨晚的推算过程中出现了这样一个比值2¹⁹/3¹²，其价几乎等1。其价与1的差值应当是6.8‰的2倍。谁能预想到2¹⁹/3¹²几乎等的呢？所以我想这大概是个巧合。

还有就是我感觉如果对“和声、和弦”的本质进行分析，可能会得出有利于12平均律的结论。但这方面我确实不清楚，是纯粹的门外汉。我只模糊地知道：将特定几个音同时弹出，似乎有一种磁性的美感，好象声音在音质层面发生了一种细微律动。而这种律动可能是整数比例的不同音频叠加的结果。不知我的理解对不对，是否贻笑大方。

还请不吝指教呀！

chnwwhh

真希望自己还年轻，可以不顾一切的投入这样“傻”的事情。可实际上，写了一晚的贴，早上还得去工地上。真是不误正业了！

chnwwhh

“在十二平均律前，还有一种纯律，就是用1/2、1/3、1/5来定的。”我看咱们两人，可能都没仔细看对方的贴子：我在我的帖子里描述的了音律所谓相当的意义，而我想上面的纯律是不具备这种特性的。

LuXin

https://www.cndzq.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=27563&BoardID=14&TB=1

这样吧，先来看看这个

chnwwhh

下载了 掠看了一下

被吓呆了！呵呵

时间的原因，我会好好看的

看完了再和你争呀！

chnwwhh

正在看《律学第三次修订版.pdf》总体感觉这本书的作者数学素养很低：频率比不同与频率差这样的问题，也要写在书里，以提醒初学者。

唉！不过我会把它看完的。