发一个律制的清晰解释

icefox1983

很多人看了律制会头晕，什么纯律五度相生律12平均律之类。大多数的解释都很抽象，其实律制的数理机制是一点都不抽象的，我发个清晰的解释，从12平均律出发，应该能让大家轻松理解率制。

首先，音乐之美在于共鸣。所有所谓“河蟹音”都是有较强共鸣效果的音的组合，否则就不河蟹。何谓共鸣？真正的共鸣，是指一根静止的弦，在周围空气的振动（声音）影响下，如果声音的频率与弦的固有频率相同或很接近（比如就是同样的另一根弦振动发出的声音），则会吸收声音能量自己也开始振动。看到这里，大家可能会奇怪，那河蟹音不就都是一样的音了吗？不然，看下面的解释。

关键之处在于泛音。声音就是振动，而振动的物理模型就是弦（也是大多数乐器的发音机理）。弦的振动可以用一个二阶偏微分方程描述，其解就是振动的状态，但这个方程的解不是一个，而是一族！虽然听起来抽象，但想象起来是很简单的。一跟弦两端固定，中间上下振动，是最基本振动方式，其频率称为基频或基音。但想象一根弦，中点被一颗钉子固定下来，两侧的弦一上一下地振动（形成s和反s状，别想到frjj）。其实这样的弦等于两根半长度的弦，其固有频率会是基频的两倍。但是，当开始这样的振动后，把固定中点的钉子去掉，会怎样呢？不会有任何变化，因为s状的弦完全对称，两边的张力会抵消，使得中间一点根本不受力，因此仍然固定在原处！到了这里大家应该能猜到了，没错，其实一根弦在振动的时候，除了标准的全弦振动，还有第二级的半弦振动存在。仅此而已吗？不，甚至还有固定1/3，2/3点的三级振动（现在弦任意时刻形状都类似w和m），频率4倍(2^2)，固定1/4, 1/2, 3/4三点的四级振动（弦看似双s），频率8倍（2^3），以及五级六级直至无穷级的振动形式。这些二级以上振动的发音，统称泛音，但通常其能量（音量）会随级数增长而快速衰减。所以，即使一根最普通的弦振动，发出的其实不是一个频率的声音，而是以它为主、辅以无穷个2^n倍频率的泛音。在提琴和吉他上，有控制基音不发声，只发偶数级泛音的技法，称为泛音奏法，其实很简单，把一个手指轻轻放在某弦的1/2处然后弹奏，或者弹奏后再放手指。现在它的原理应该很清楚了，就是阻止一切非偶数级泛音的振动，但却不影响偶数级泛音。

联系泛音和共鸣，大家现在应该明白，如果两条弦各自长度的某个简单分数（比如1/3和3/4）相等，它们也能共鸣，只是共鸣强度较低（因为高级泛音能量较低），而且这个分数分母越大共鸣就越弱。

现在讲解12平均律。考虑一组12跟弦，最长的一根长度为2，最短一根长度2开12次根号，其他弦长组成等比数列。显然，第n根弦长度公式为2^(n/12)，n=1到12。每根弦长计算结果如下，括号里是约等的简单分数

1：1.059463094
2：1.122462048
3：1.189207115 (6/5)
4：1.25992105 (5/4)
5：1.334839854 (4/3)
6：1.414213562 (7/5)
7：1.498307077 (3/2)
8：1.587401052 (8/5)
9：1.681792831 (5/3)
10：1.781797436
11：1.887748625
12：2 (2/1)

大家会发现，12个音里，有八个都很接近简单分数。这很有利于共鸣。比如弦5的1/4与弦9的1/5长度相同，会出现共鸣；弦7的1/3与弦12的1/2长度相同，会出现共鸣。其实，从12倒数到1，就是12平均律里从c到b的频率关系。以弦12为标准c，则9对应小三度，8对应大三度，7对应4度，5对应5度，3对应6度：和声学里最河蟹的和声组合，都在这个计算里明确出来了。特别是5度（转位后等同于4度），被称为除8度外最和谐的共鸣，其根本原因就是弦7有最小的分母(3/2)。

12平均律最大的好处就是频率呈等比数列。由于这个原因，随便选一个音作为c，往上数12个音的频率关系就与我们计算的完全相同，换句话说任何曲子转任何调后听起来效果都与原调完全一样（相对效果一样，绝对音高当然不同了），巴赫为推广12平均律，就写了不断转调最后转回原调的12平均律组曲，用其他调律都不会有如此自然的感觉。而12平均律的缺点，当然就在与上面的数字与括号里数字的区别：共鸣不是完美的。好在混沌数学里证明过，即使弦长不完全相等，只要足够接近，共鸣就会足够强烈，所以现在我们听12平均律乐曲也并不会感到任何不河蟹。

现在再解释纯率、五度相生率等任何其他律法都很简单了。它们的做法，就是确定一个c的音高，然后选定上面某个音高（比如五度或大三度），用括号里的比例取代12平均律里的比例进行计算。由于这样计算的会造成8度不是完美的2倍频率关系的结果，许多律法还要进行调整，但基本思想就是如此。但是，与其把完美的和声带来的误差堆积起来成一个很明显的不河蟹音，还不如把误差铺散在12个音阶之间，反而更不容易听出，再说较小的误差不会太影响共鸣，但堆积起来一个大的误差就很影响了。就是因为这个原因，现代理论里12平均律已经成为调音的标准。

关于率制这东西，追求数学和音乐理论上的完美的确不错，但很多人非说纯率才是绝对美好的，12平均律听起来就不和谐，我真想邀请这样几位高人做个双盲试验。我仔细听了sp250的古典率音色，虽对比之下能听出来与12平均律不同，但差异绝对微乎其微，特别是在中音区。让我辨听哪个是古典率，我肯定做不到。再说真正乐器调音时，乐器的误差、调音者自己的误差、温度湿度的变化等等，其影响早就大于律制的差异，因此更不用苛求所谓“完美”的律法。据我所知，吉他和提琴都用泛音调音法，其本质类似于纯律，但我也从没听说过提琴与钢琴合作的时候会有不河蟹。另外，钢琴调音时因为人耳对极高和极低音的敏感度下降，在两段还会故意把高音调高点、低音调低点，那时已经无所谓河蟹了，因为人耳都快辨别不出频率差异了。

还有人说12平均律为什么非要和纯率差一点点，多可惜？我的想法正好相反，12平均律能如此接近纯率已经太不容易了！我还就此写过一篇论文，讲述12这个数的神奇之处。我从5测试到24，其他任何数字产生的平均律都不能有12平均律那么河蟹（有那么多接近简单分数的频率关系）。我还见过24平均律写作的乐曲，youtube上就有，但那些明显是实验性质的，任何人也不会觉得24平均律比12平均律更河蟹。

PX410R

单是把“和谐”写作“河蟹”，恐怕就会让很多人头晕。

建议楼主把标题换一下，“律制中的共鸣与和谐”。

楼主辛苦了，顶一下

　　　　　　　　　

「该帖子被 PX410R 在 2007-11-6 10:44:39 编辑过」

liuxuejun888

多谢讲解，虽然还是没看懂。