[原创]数学家讲音律计算

LuXin

        我作一个注记：由于我主要是突出数学方面的计算，所以有的音乐上的道理可能还暂时给不出准确的解答。让我们抛砖引玉好了。

      先来计算五度相生律。
        如果我们从提琴或吉他上扯下一根弦来（如果能找到一根单个儿的弦就不要扯，不然会被琴的主人），比如说是120公分，把弦拉直，两头固定在桌子上，然后弹拨一下，听听声音。我们先认为它是“do”（先不论它是哪个调的）。
然后，我们取这根弦的中点，也就是60公分处，掐住它（目的是只让这60公分的弦震动），再弹拨一下听一听，和刚才正好是纯八度关系，也就是高音的“do”。
        我们现在不掐在60公分处，我们掐在弦的3分之2处，也就是80公分，弹拨80公分这一边，听一听，和第一次的操作正好是纯五度的关系，也就是“so”。
我们换别的长度的弦儿，也是按整弦儿弹拨、2分之1处弹拨、3分之2处弹拨，发出的声音都是“do”“高音do”“so”。（这个do和1米2的那根弦的do是的音高是不一样的，除非它也是同样质地同样粗细同样长短。）或者我们用严格的角度说，第1次和第2次弹拨的音程是纯八度，第1、3次弹拨的音程是纯五度。

      在弹拨琴弦的时候，除了整个弦在振动之外，它的每一个部分，比如2分之1，3分之1也在振动。所以我们想，为什么纯八度是“极完全协和音程”，而纯五度是“完全协和音程”，因为它们的比是2：1和3：2。从数学上的直觉来想，也是很“舒服”的比例。不信，你找一个无限不循环小数的比例，比如说π: e，也就是长度比为3.1415926536…：2.7182818284…的两根同样粗细同样质地的弦，弹拨出来的音程要是协和才怪呢。
       大家记住哦，无论哪一个大调，只要用弦弹拨，do、so、高音do之间的弦长一定是6：4：3。
      对于管乐器，则是它里面的空气柱长度是这个比例
      大家都看明白了吧？好，那么我们往下讲了。

「该帖子被 LuXin 在 2006-3-9 20:56:26 编辑过」

西部雪狼

2.7182818284…楼主能告诉我这个数字是什么意思？

LuXin

咦？这么快就加精啦？嘻嘻嘻嘻……（脸红）

（小声说，其实我发这个帖子的目的就是要给自己加一个积分的）

是谁加的？告诉我，我献一个和一个还有一个还有一个


[right]「该帖子被 luxin 在 2005-12-28 12:36:38 编辑过」[/right]

ray2000

以下是引用　[B]西部雪狼[/B]　在(2005-12-28 12:31:33)[B]的发言：[/B]

2.7182818284…楼主能告诉我这个数字是什么意思？

记得这好象是e的值哦

LuXin

图片忘了用粉色了……

大家快看，看懂了我就上数据了。


[right]「该帖子被 luxin 在 2005-12-28 13:01:27 编辑过」[/right]

西部雪狼

这公式有什么用途？请教楼主！这快变成数学论坛了！呵呵呵，和音乐有关系吗？

ray2000

我数学不好，不过我知道音律和数学有着很大的关系，可以通过计算来检验和弦是否和谐

王云

我上学的时候,最烦数学了,现在体会到数学的重要性了,不单单是音律方面,我在学习音响理论时,就遇到数学的难题了,那些艰涩难懂的公式很让我茫然!唉,后悔当初没有好好学习数学.

LuXin

    以下是引用　[B]ray2000[/B]　在(2005-12-28 13:32:05)[B]的发言：[/B]我数学不好，不过我知道音律和数学有着很大的关系，可以通过计算来检验和弦是否和谐
    以下是引用　[B]王云[/B]在(2005-12-28 22:10:15)[B]的发言：[/B]
,不单单是音律方面,我在学习音响理论时,就遇到数学的难题了,那些艰涩难懂的公式很让我茫然

    通过计算？会累死的，听音不就行了
    什么音响理论的难题？是复变函数么？举个例子？
    我上小学的时候也烦上数学课，因为课上无所事事，只好给老师找错
   上中学的时候也是烦数学课，因为是数学班，同学比我强多了
    上大学的时候也是最烦数学，因为有两个学期都是，各有六门数学课，所以没有别的课可烦

「该帖子被 LuXin 在 2006-3-9 20:55:04 编辑过」

LuXin

      无人不知，无人不晓的古希腊大数学家毕达哥拉斯~~，建立了著名的毕达哥拉斯学派。他把学派开设的全部课程分为了四类：
           1、数的绝对理论——代数；
           2、数的应用——音乐；
           3、静止的量——几何；
           4、运动的量——天文。
    我个人评价一下啊，他开这些课很有道理。

      为什么数的应用是音乐呢？因为老毕（不是毕福剑，是毕达哥拉斯）也是一位音乐家。（音乐的网站怎么能不介绍音乐家呢）他在定律方面很有研究。也就是说，为什么do和re之间差那么多？这很早就有研究了。他就是其中一个很有成就的代表。
     我在0楼已经说了，为什么纯八度是极完全协和音程？因为2：1是一个非常和协的数。或者我们应当这样说：正是因为弦以1：2这个比例发出了和协的双音，所以人们才把它们叫作“do”和“高音do”（先不论是哪个调）。无论是五度相生律、纯律还是十二平均律，他们的其它的音程可以有细微的差别，但是都采取了这样一个事实：纯八度，就是弦长比2：1，或者说，把弦长2：1定为纯八度，并且以这为一个基础来定出其它各音的音高。
      我们现代的乐器用的标准音，或者是61键的电子琴的A3这个音是440赫兹。所以61键的琴的所有音名为A的音的频率是110，220，440，880，1760赫兹。
      再回到老毕。他认为3、4、6这三个数实在是太神奇了。除了音律上是纯五度和纯八度的关系之外，我再举一个例子。一个360度（一圈儿），正好可以被6个正3角形或者4个正4边形，或者3个正6边形真满。但是其它边形不可以做到。比如说，正五边形是108度的内角，不能整除整除360。

     这不是一个很神奇的事情么？所以他认为这是宇宙的内在规律的一种表现。
      “万物皆数”，正是这个学派的信念。

「该帖子被 LuXin 在 2006-3-9 20:54:18 编辑过」

LuXin

      所以呢，如果我们固定一个长度的弦，它发出的音当作是do，那么，
     掐住这根弦的2/3长度发出的音就是so，也就是do往上纯五度，那么，
     掐住2/3的2/3，也就是整个弦的4/9，发出的音就是so再往上纯五度，也就是高音的re。
     把高音re的长度延长到2倍，也就是原来的弦的8/9，就是re。所以，我们已经构造出do、so、re了，继续！
     re的这个长度的2/3，也就是整个弦儿的8/9的2/3，也就是16/27，就是re往上纯五度，也就是la，
     而la的2/3，也就是re的2/3的2/3也就是4/9，也就是高音re的8/9就是高音mi。
     把高音mi的长度加到2倍就是mi。以此类推。

        看看推到这里是什么？do、so、re、la、mi。中国的五声啊！也就是说，中国人也很早就发现了这个规律。我们得到这样的结论：
       6:4:3的和谐，不是只有希腊人才发现的。因为这个比例是和谐的比例，是用来发出乐音的琴弦的本质物理属性，以及更深层地将其抽象出数学属性，所以才会被不同民族的人类广泛地接受并且应用。
看！我们用6:4:3就推出了中国的宫商角徵羽，别着急，继续推我们就可以推出所有的音。

      再加上一点：如果从do往下推到fa，就先把琴弦延长为原来的3/2，也就是延长到1.5倍。就是低音fa，然后再缩短一半，就是fa了。
什么？没法延长？你死性呀！就不会先缩短一半变成高音do，再延长一半（此一半非彼一半，此一半是一半的一半，也就是原来的1/4），也就是把整弦的3/4，就是fa，不就成了。
      知道为什么叫五度相生律了吧？神奇吧？这正是古人的智慧。我们现在日用的稀松平常的音律，正是他们这样一点点地摸索反复地实践，才成了今天的样子的。前人栽树后人乘凉啊！
      大家都看明白了吧？挺好懂的。不会的呢，互相讨论讨论也就都会了。今天累了。日后我给列出一个表儿来，会写清楚用五度相生律得到的一个八度内的各个数据。睡了。

直接晋升为12协律郎嘻嘻！~~

「该帖子被 LuXin 在 2006-3-9 20:52:16 编辑过」

yamazaki85

好帖啊！！！！

LuXin

为什么加精的帖子看的人都不多啊

wcygj

因为这里的人，数学学的都不怎么样，让你说晕了，没勇气看完～～哈哈

我看完了，确实很奇妙～～，我相信音乐里的几个音符也是宇宙中一种和谐与美存在的客观体现

支持你～～

LuXin

[B]我宣布！
       本贴子可以尽情地转帖。因为这些知识都不是我首创。我只是把它们整理加工并且精确计算而已。从事数学工作的人们，不兴搞知识垄断，只会正当地劳动致富（其实搞数学的一般也不富）。所有抨击知识分子中的败类的言论，尽管那些现象是存在的，但都与主流的科学工作者没有丝毫关联。
       不过，我希望大家转帖的时候注明摘自cndzq网站，由LuXin所发，如果能做个链接是最好不过的（虽然精华帖子必须登录才能看吧……）。一是因为，好歹我也吭哧吭哧写了、算了几个小时呢，按理说一个从事科学工作的人，应当把他的知识推广，直至与整个世界的人们分享，科学是没有国界的，何况网界？这是我追求的一个境界。不过大家也是要给点肯定是不是？另一方面呢，一旦我计算有误，人们就可以不会因为查不到原出处而困惑。如果有了出处，谁提出我算得不对，改起来、勘误起来也是方便的。这是数学家应当具有的对科学严谨的态度和对于接受信息的人们的负责任的精神。[/B]

「该帖子被 LuXin 在 2006-3-9 20:49:58 编辑过」

LuXin

    十分感谢顶贴的同志们。
    不过，不难吧？我一刻钟就通了五度相生律。我后面还有纯律和十二平均律没有讲呢。
    补充一点。老毕的6：4：3还有一个事实：正立方体（骰子、魔方那种形状的）的棱12条，顶点是8个，面是6个，也是6：4：3。
好我们继续。我们知道，一根弦在振动发声的时候，它的各部分（2分之1，3分之1，4分之1等等）也都在振动。全段振动的声音叫基音，各个段振动发出的音叫泛音。泛音比基音弱得多不易察觉。我们可以算一下，如果基音发出的是“do”，那么2分之1段发出的音就是高八度的“do”，3分之1段发出的间就是再往上纯五度，即“高音so”（因为1/3＝1/2×2/3），4分之1段发出的是比基音高2个8度的“do”，（因为1/4＝1/2×1/2）5分之1段发出的是近似的“倍高音mi”为什么是近似，以后再讲。6分之1段发出的音正好是“倍高音so”这个不是近似。好的不往下算了。

    所以我们听钢琴的音，高音对应的弦长本身就短，所以高音的泛音比低音的泛音弱得多，所以钢琴的很高的音会显得单薄，低音则比较浑厚。
    至于分子不是1时的情况，比如2/5段发出的音是什么情况，不好意思，我物理差，我也不知道为什么前人不研究这种情况……
    我们还知道，波长×频率＝波速（前天刚问物理系的人的）似乎弦长和波长成正比。（这可以用物理实验检验）所以，高音do的弦长的do的1/2，则高音do的频率是do的2倍。So是do弦长（波长）的2/3，所以so的频率是do的3/2，也就是1.5倍。而频率和音高是直接相关的。标准音的频率就是440赫兹。

「该帖子被 LuXin 在 2006-3-9 20:49:09 编辑过」

LuXin

     这里一定要强调是同样质地同样粗细的绳儿，因为这对音高是有根本影响的。一根1米长1平方毫米粗的尼龙弦发出的音是同样材料同样做工的1米长2平方毫米粗的绳的音的往高纯八度。甚至同样的弦，两头用不同的力量拉直，发出的音也差很多很多，比如用200牛顿的力拉一根弦、再弹拨，发出的音是100牛顿的力拉弦发出的音的高八度（不过还是不要试了，好不容易被琴主人一通乱剋才抻下来的弦就这样被拉断了，还得重新挨骂再扽一根来……）

     我们想一想吉它。它的材质应该是一样的。六根统是不一样粗的。另外，在调琴时转动那些螺丝，实际上就是加几个牛顿，即改变拉力来达到改变音高的目的。另外它的那个码儿，其实是改变长度用的。用手一把弦按在码上，它的上端就不振动了（或者是振动极弱我们听不到了）。所以吉它的发明也是动了脑筋的。也是有数学计算在里面的。如果粗细都一样，拉力都一样，就得用不同长度的弦，有多少个音就得有多少个长度不同的弦。这是不现实的，这成钢琴了。

     由于不同质地、粗细、拉力、长短的弦发出的音会不一样，所以我们在随便抻下一根弦的时候无法知道它是哪个调的，甚至把弦泡在水里或食用油里，由于波速变了，也会发出不同的调。所以我们现在假定质地粗细和拉力介质都是固定的，只有弦长短变化。这样尽管我们不知道是什么调的，但是它们的音程是可以确定的。哪怕它的do在中央C和升C之间，也对音程和我们现在的讨论没有影响。

    五度相生律就是用弦的1/2和1/3段振动时发出的音高比往上定出纯五度，产生次一律，然后再往上纯五度产生次二律，以此反复。好，我们开始上计算过程和数据了。多么的通俗易懂啊！

「该帖子被 LuXin 在 2006-3-9 20:48:13 编辑过」

西部雪狼

支持LUXIN呀！好好研究呀！

LuXin

      假定弦长为1个单位时，频率为1单位。那么，

      现在我们把上面的计算整理如下：
          do re mi so la
          弦长 1 8/9 64/81 2/3 16/27
          频率 1 9/8 81/64 3/2 27/16
          频率 1 1.125 1.265625 1.5 1.6875

      也就是说do re mi so la的弦长之比是81：72：64：54：48
      频率之比是1：1.125：1.265625:：1.5：1.6875
      注意到一个全音的频率比，比如do和re，re和mi，so和la的比，为8：9。

    如果我们此时给一个标准音la是440Hz。然后用通过不断变换弦的长度的办法，使弦的音高和标准音听上去一样，然后把它当作la，再除以27/16得到的频率，就是中央C的频率，为260.74074 Hz。

   中音区的do re mi so la的频率分别为260.74074赫兹，293.33333赫兹，330赫兹，391.11111赫兹和440赫兹。这，就是从五度相生律的原理上的推导。
   至于先有标准音还是先有中央C，则需要考证音乐史。

「该帖子被 LuXin 在 2006-3-9 20:52:56 编辑过」

Q66W

这么好的帖子，顶起来！！